Fermat-Zahlen
In meinem letzten Beitrag hatten wir einen Mathematik-Wettbewerb. Lassen Sie mich Ihnen die Aufgabe ins Gedächtnis rufen:
Mit +, -, x, ÷ und () die Zahlen von 10 bis 1 2017 gleichsetzen.
Das war eine einfache Aufgabe, die schwieriger wurde.
Wie sieht es mit 9 bis 1 aus, die gleich 2017 sind? 8 bis 1? 7 bis 1? Und herunter bis 1?
Bevor ich auch nur „Warum grauer Januar, wenn es eine Arithmetik in meinem Leben gibt!?!“ sagen konnte, strömten auch schon Antworten unseres Fanclubs herein! Und einige von ihnen (denken Sie daran, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, um auf 2017 zu kommen), waren so wundervoll interessant, während andere nicht wirklich als elegant genug bezeichnet werden konnten, wodurch ich einfach einige von ihnen mit Ihnen teilen muss…
— 10 —
Hier kommen die elegantesten Lösungen:
10 * 9 * 8 * 7 * 6 / 5 / (4 – 3 + 2) + 1 = 2017
10 * 9 * 8 * (7 – 6) / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
(10 – 9) + 8 * 7 * (6 – 5) * 4 * 3 * (2+1) = 2017
(10 – 9) + 8 * 7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2 * 1 = 2017
(-10 + 9 + 8 + 7 * (6 + 5)) * 4 * 3 * 2 + 1 = 2017
Wenn man alle zehn Zahlen verwendete, konnte man es auch so machen, aber uneleganter geht es nicht (em, ich kam auf diese hier; dafür brauchte ich nur zehn Minuten 🙂 :
((10 + (987) + (6 + 5) * (4 – 3)) * 2) + 1 = 2017
A.B., ein Kollege, der in der Nähe meines Büros sitzt, schaffte es sogar mit einigen „Geteilt-durch“-Zeichen ( /). Ok, nun, damit teilt man ganze Zahlen in Brüche, aber gut, warum nicht?
10 * 9 * 8 * 7 / ((6 * 5) / 4) – 3 – 2) + 1 = 2017
Und etwas elegantere Mathematik:
10 – (9 + 8 * (7 * (6 * (5 * (4 – (3 + 2)) – 1)))) = 2017
(10 – 9) + 8 * (7 * (6 * ((5 * (4 – 3)) + 2 – 1))) = 2017
— 9 —
Nehmen wir nun die „10“ aus dem Spiel. Zunächst erhält man den Eindruck, dass die Aufgabe dadurch komplizierter würde. Jedoch stellte sich heraus, dass die Lösung innerhalb von wenigen Minuten erreicht werden kann:
9 * 8 * 7 * 6 * (5 – 4) / 3 * 2 + 1 = 2017
9 + 8 * ((7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2) – 1) = 2017
9 * 8 * 7 * (6 – 5 + 4 – 3) * 2 + 1 = 2017
Während A.B. auf eine „Bruchvariante“ kam:
9 * 8 * 7 * 6 / (((5 + 4) / 3) / 2) + 1 = 2017
Es gibt da auch noch diese Version:
9 * (8 – ((7 – 6) * (5 – 4))) * (32) + 1 = 2017
— 8 —
Mit nur 1-8 war die Sache überraschenderweise leichter als bei den ersten zwei Aufgaben:
8 * 7 * 6 * (5 – 4) * 3 * 2 +1 = 2017
8 * 7 * (6 + 5 + 4 + 3) * 2 + 1 = 2017
8 * 7 * 6 * ( 5 + 4 – 3) + (2 – 1) = 2017
8 * (7 + 6 + 5) * ((4 * 3) + 2) + 1 = 2017
Wackelige Arithmetik:
(8 – 7 + 6) * (5 + 4) * (32) + 1 = 2017
— 7 & 6 —
Wenn man nur 1-6 oder 1-7 verwendet, benötigt man eine Fakultät; ich konnte ohne sie nicht auf 2017 kommen:
7 * (6 – 5) * 4! * 3! * 2 + 1 = 2017
6! / 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
7 – 6 – 5! – 4! + 3 * ((2+1)!)!
7 + (6! – 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
7 – (6 – 5!) * 4! – (3!)! – (2+1)!
7! – 6! / 5 – 4 * (3!)! + 2-1
7! – (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!
6! – 5! – 4! + (3!)! * 2 + 1
(6 + 5!) * 4! / 3 * 2 + 1
(6! / 5 + 4!) * 3! * 2 + 1
Noch eine andere Variante, Leute?
— 5 —
Nur eine wackelige Lösung:
/5 * (4 + 3)! * 2 + 1
Diese ist eleganter, aber sie braucht Quadratwurzeln:
((( 5 – √4 )! )!!!! ) !!!!! * ((3 * 2)!!!! ) + 1 = 2017.
— 4 —
(Wie tief kommen Sie?!)
[(4#)!!!!]!!!!! * [(3 * 2)!!!!] + 1 = 2017
Wo # ein Primorial ist und !!!! und !!!!! Primorialprimzahlen
Toll! Gut gemacht! Ich hatte zuvor niemals von solchen Zahlen gehört! Uns wurde nichts dazu beigemacht; im Ernst!
Und ein paar Extralösungen:
((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017
Es geht so:
4!=1*2*3*4=24
24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
3!=6
168*6*2+1=2016+1=2017
Extrem elegante Lösung!
Und noch eine, bei der sf(n) eine Superfakultät ist:
sf(4) * (3! + !2) + 1 = 2017
wo:
sf(4)=1!*2!*3!*4!=288
3!=3*2*1=6
!2=1
— 3 —
Aber das ist nicht alles! Jetzt werden wir nur mit „3, 2 & 1“ rechnen, und nicht mehr. Ist das mein Ernst? Ja!
Für diese Aufgabe benötigen wir:
L(n) – eine Leonardo-Nummer,
!n – eine Subfakultät und
n!! – eine Primorialprimzahl!
Und los geht’s:
1 + 2 = 3.
L(3) = 5.
5!! = 15.
L(15) = 1973.
!5 = 44.
L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = 2017
Das ging schnell und einfach. Oh, diese Typen! 🙂
— 2 —
Zwei und eins; wie bekommt man die auf 2017? Nicht möglich? Schauen Sie einmal hin: „2 1 = 2017“. Was für eine schwarze Magie brauchen wir für diese Suppe?
Für diese Aufgabe benötigen wir:
Eine Fibonacci-Zahl F(n) und eine Fermat-Zahl Fm(n)
Womit wir zur vorherigen Aufgabe kommen (3, 2, 1 -> 2017):
F(2) = 1 (andernfalls können wir eine Subfakultät verwenden !2=1).
Fm(1) = 3.
2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
L( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = ….. erraten Sie es? 🙂
oder
L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017.
Und hier ist Ende, Leute. Es ist offensichtlich, dass man NICHT eine einzige „1“ auf „2017“ bringen kann, denn Mathematik ist kein Science-Fiction-Film und es gibt keinen Teleportationstunnel, mit dem man von „1“ auf „2017“ springen kann.
Oh, ok. Es gab KEINEN Tunnel, bevor ich diese Idee mit meinen Kollegen teilte. Einer von ihnen antwortete auf meine Geschichte mit einer trogonometrischen Raupe, die weiter unten erklärt wird.
Fertig? Sie glauben mir noch nicht? Sparen Sie sich das Grinsen – es IST möglich! Ein „Wow“ für Maxim Yurchuk, der auf diese verrückte Idee gekommen ist.
— 1 —
ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg … ctg arctg sin arcctg 1 (die Funktion ctg arctg sin arcctg 2017^2 -1 wiederholen) = 2017.
Und hier ist der Beweis:
sin t = 1/sqrt(1+ ctg^2(t)),
übersetzt man die zwei Funktionen rechts, erhält man:
sin arcctg s = 1/sqrt(1 + s^2)
Mit ctg arctg (s) = 1/s erhalten wir:
ctg arctg sin arcctg s = sqrt(1 + s^2)
Mit der gleichen Logik können wir sicher sein, dass uns diese vier Funktionen zu
ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg s = sqrt(2 + s^2) führen
Mit mathematischer Induktion können wir folgendes beweisen:
ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + s^2)
wo ctg arctg sin arcctg n-mal wiederholt wird.
Dann tauschen wir s gegen 1 und erhalten:
ctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + 1^2)
wo ctg arctg sin arcctg n-mal wiederholt wird.
Wiederholen Sie diese Funktionen 2017^2-1-mal (d. h., n = 2017^2-1) und das führt uns zu
sqrt(2017^2-1 + 1^2) = sqrt(2017^2) = 2017.
Bingo!
Weitere Beweise („bildlicher“):
Lassen Sie uns zeigen, dass ctg arctg sin arcctg Vn = V(n+1).
Das untere Bild zeigt das Problem; die Kotangens des Winkels AOB ist gleich Vn, i.e., OB / AB = V(1-x^2) / x = Vn. Ergo, wir müssen die Kotangens des Winkels COD berechnen, wenn AB = CD = x. Diese Kotangens ist gleich OD/CD = 1/x. Somit ist 1/x = V(n+1), da (1 – x^2) / x^2 = n.
— 0 —
Das Sahnehäubchen, null zu 2017. Das ist einfach:
cos(0)=1
Dann gehen wir zurück zur vorherigen Aufgabe.
— Zusatzmaterial —
Machen wir hier weiter.
Wie steht es damit, … 2017 aus i zu erhalten (vergessen Sie nicht, auf den Link zu klicken, denn das ist ein sehr interessantes i)? Wie erhalten wir aus 2017 die Planck-Konstante? Oder die Masse eines Elektrons in atomaren Einheiten? Oder die % von VAT-Konzessionen auf Exportvorgängen – kurz gefasst: der Ozean der modernen physischen-sozial-wirtschaftlichen Sphäre ist absolut grenzenlos. Nun los, versuchen Sie es selbst!
Bis zum Ende des Jahres bleibt uns noch immer Zeit; denn dann müssen wir die Arithmetik auf 2018 abändern :).
